Fundamentos, recursos y actividades para iniciar el aprendizaje
Colección Recursos, n.° 175
Del número al sentido numérico y de las cuentas al cálculo táctico. Fundamentos, recursos y actividades para iniciar el aprendizaje
NOTA: En esta obra se emplean los términos niño/s, alumno/s, etc., como marca neutra que, aunque coincide con la forma masculina, incluye todos los géneros.
Primera edición (papel): septiembre de 2019
Primera edición (epub): marzo de 2020
© M. Teresa García-Pérez y Natividad Adamuz-Povedano (coords.)
© De esta edición:
Ediciones OCTAEDRO, S.L.
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ISBN (papel): 978-84-17667-46-7
eISBN: 978-84-18083-57-0
Diseño y producción: Editorial Octaedro
1. Introducción
2. Desarrollo del sentido numérico
2.1. ¿Qué es el sentido numérico?
2.2. Aritmética escolar
2.3. Aritmética mental
2.4. Cálculo táctico
3. Cognición numérica. Factores influyentes en la enseñanza-aprendizaje de la aritmética
3.1. Procesamiento numérico
a) Modelo de código abstracto
b) Modelo de código triple
c) Modelo de codificación compleja
3.2. La memoria y el aprendizaje aritmético
3.3. Cognición corporizada y metáforas conceptuales
4. Primeras experiencias con los números
4.1. Nociones básicas para la construcción del concepto de número
4.2. Aprendizaje de la secuencia verbal
4.3. Conteo
4.4. Contextos numéricos
5. Uso de los materiales manipulativos en los primeros años del aprendizaje matemático
5.1. Definición de materiales manipulativos
5.2. Fundamentación del uso de materiales manipulativos
5.3. Consideraciones a tener cuenta en el uso de materiales manipulativos en el aula
5.4. Presentación y justificación de los materiales que integran nuestra propuesta metodológica
a) Las cintas numéricas
b) Paneles numéricos grande y pequeño
c) Caja de numeración
6. Actividades para conocer los números que componen la secuencia del 0 al 99
6.1. Nombrar números y nombrar series progresivas y regresivas en la cinta
6.2. Nombrar series progresivas y regresivas en los paneles
6.3. Nombrar series comprendidas entre dos números en la cinta
6.4. Aislar una familia para estudiarla en el panel
6.5. Lectura por filas y por columnas en el panel
6.6. Ejercitar los cambios a cada nueva decena en la cinta
6.7. Identificar y localizar cualquier número de la serie en la cinta
6.8. Construir series que resultan de contar a intervalos regulares en la cinta
6.9. Construir series que resultan de contar a intervalos regulares en el panel
6.10. Aplicar lo aprendido en situaciones de juego en la cinta: los números dormidos
6.11. Aplicar lo aprendido en situaciones de juego (con el apoyo de la cinta): los números en la mochila
7. Actividades para establecer relaciones de orden y de cantidad entre números
7.1. Localizar anteriores y posteriores en la cinta
7.2. Localizar anteriores y posteriores en el panel
7.3. Aplicar los conceptos anterior y posterior en un contexto de juego (con el apoyo de la cinta)
7.4. Determinar números comprendidos entre otros dos en la cinta
7.5. Establecer relaciones de cantidad entre números con la caja y la cinta
a) Relaciones «mayor-menor»
b) Relaciones «mayor que - menor que»
c) Relaciones «de mayor a menor - de menor a mayor»
7.6. Aplicar los conceptos mayor y menor en un contexto de juego en la cinta
7.7. Aplicar todas las consignas aprendidas utilizando los paneles grande y pequeño
8. Actividades para comprender y utilizar el sistema de numeración decimal
8.1. Comprender los conceptos de unidad y decena y de valor posicional con la caja
8.2. Construir progresivamente los números que integran cada tramo conectando la caja con la cinta y el panel
8.3. Realizar recuentos de decenas y unidades
8.4. Componer y descomponer cantidades dentro de la caja
8.5. Componer y descomponer cantidades fuera de la caja
8.6. Relacionar distintas representaciones
9. Actividades para sumar y restar
9.1. Sumar con la caja de numeración
a) Primera situación: a un número de uno o dos dígitos le añadimos otro de un dígito sin que se forme una nueva decena
b) Segunda situación: a un número de dos dígitos le añadimos otro de dos dígitos sin que se forme una nueva decena
c) Tercera situación: a un número de uno o dos dígitos le añadimos otro de uno o de dos dígitos y se forma una nueva decena
9.2. Restar con la caja de numeración
a) Primera situación: restas «sin deshacer ecena», en las que a un número de uno o dos dígitos le sustraemos otro de un dígito
b) Segunda situación: restas «sin deshacer decena» en las que a un número de dos dígitos le sustraemos otro de dos dígitos
c) Tercera situación: restas «deshaciendo decena» en las que a un número con decenas exactas le sustraemos otro de un dígito
d) Cuarta situación: restas «deshaciendo decena» en las que a un número de dos dígitos le sustraemos otro de dos dígitos
9.3. Sumar y restar con la cinta
9.4. Sumas y restas jugando con dados
9.5. Sumas y restas de cantidades constantes
9.6. Sumar y restar en el panel
9.7. Relacionar un número con la decena siguiente y la decena anterior mediante la suma y la resta
9.8. La suma y la resta como expresión matemática de sucesos
10. Actividades para reconocer y generalizar patrones aritméticos, mejorar destrezas gráficas, lograr hechos numéricos y desarrollar habilidades para el cálculo
10.1. Obtener los números de la serie añadiendo uno al número anterior en la cinta
10.2. Obtener los números de la serie quitando uno al número posterior en la cinta
10.3. Descomponer números en la caja y expresarlos como suma de unidades
10.4. Sumar números de un dígito a decenas completas
10.5. Jugar con los dados +1, +10 y –1, –10
10.6. Sumar cantidades descompuestas: la rana Saltarina suma
10.7. Restar cantidades descompuestas: la rana Saltarina resta
10.8. Sumar y restar diez y múltiplos de 10 en el panel
10.9. Relacionar un número con los que lo rodean en el panel mediante la suma y la resta
10.10. Sumar y restar nueve y once
Referencias bibliográficas
La sociedad está cambiando a un ritmo frenético y la escuela no debe quedar impasible. En nuestras aulas nos encontramos con una diversidad social y cultural cada vez mayor. Fuera, el desarrollo tecnológico, los modelos familiares, las relaciones sociolaborales y, en general, las demandas sociales, también siguen evolucionando; tanto, que se hacen necesarias actuaciones educativas y cambios metodológicos que favorezcan la igualdad de oportunidades, el éxito y el desarrollo personal dentro de las diferencias que nos caracterizan. Sin embargo, desgraciadamente, los cambios en la escuela no suelen ser fáciles ni, desde luego, inmediatos.
Tradicionalmente, las Matemáticas se han concebido siempre como una asignatura asequible solo para el alumnado aventajado, hasta tal punto que ya desde los primeros años de aprendizaje matemático se ha venido dando un porcentaje considerable de fracaso en esta materia, algo que puede marcar diferencias lamentables, condicionar el futuro escolar y, en consecuencia, el desarrollo competencial del alumnado, causando huellas imborrables en su desarrollo personal. Sin embargo, estamos convencidos de que las Matemáticas son potencialmente asequibles, imprescindibles para la vida y necesarias para el desarrollo intelectual e integral del alumnado.
Particular importancia tiene la aritmética, como puerta de entrada a las matemáticas escolares, por su peso específico en el currículo y por su trascendencia para el desarrollo personal de los futuros ciudadanos y ciudadanas. Desde hace bastante tiempo, la enseñanza de los números y de las operaciones se ha venido abordando de una manera que tuvo pleno sentido en otra época, pero que carece de él en la actualidad. Realizar cuentas y más cuentas con lápiz y papel, sin que importase el sentido de los números ni de los algoritmos que se utilizaban, pero con el objetivo de adquirir destrezas de cálculo que nos acercaran a la perfección de las máquinas calculadoras cuando estas aún no existían, podía tener su razón de ser en otra época en la que se demandaban personas con habilidades en el cálculo para el comercio, la banca y muchas otras actividades profesionales. Sin embargo, las calculadoras llegaron hace más de cuarenta años y a la vista está que lo hicieron para quedarse. Ahora, si necesitamos realizar un cálculo complicado, solo tenemos que alargar la mano para encontrar la solución. Por supuesto, esto no quiere decir que ya no sea necesario que los niños aprendan a calcular en las escuelas, pero sí que debe hacernos reflexionar sobre la necesidad de encontrar alternativas metodológicas que se centren en desarrollar las competencias que verdaderamente adquieren sentido y significado en nuestra sociedad actual. Nos referimos a planteamientos que, partiendo del conocimiento profundo de los números, de las operaciones aritméticas y de sus propiedades, hagan posible que todos los niños consigan acercarse al universo de los números de buen agrado, comprendiendo las reglas del juego y encontrándole su sentido a estas, cada uno a su ritmo y según sus posibilidades, desarrollando habilidades y competencias, no solo en el cálculo mental o escrito, sino también en razonamiento lógico-matemático y en la resolución de problemas. Estas son, sin duda, las claves para adentrarse con garantías de éxito en el conocimiento matemático que deberá acompañarlos en su etapa de estudiantes y a lo largo de toda la vida.
Sobre esta necesidad de un cambio metodológico en lo relativo a la aritmética escolar se ha venido escribiendo abundantemente desde hace décadas, y sobre ello se muestra prácticamente unánime la comunidad científica de investigadores en educación matemática. También los marcos normativos de referencia de la mayoría de los países avanzados plantean hoy día el desarrollo de competencias en relación con la numeración y el cálculo en la línea que comentamos. No obstante, en la mayoría de las escuelas y también en casi todos los libros de texto se sigue abordando la enseñanza y el aprendizaje del cálculo como se ha venido haciendo tantos y tantos años. Y es que resulta imposible pensar en un cambio automático y sistemático de actitud de los responsables de las administraciones e instituciones educativas, del profesorado y de las familias en relación con una cuestión de tanto calado. Más bien hay que esperar a que el cambio llegue de manera natural a partir de fenómenos que se sustenten en la innovación e investigación educativas y que se trasladen a la formación permanente y a la formación inicial del profesorado para, poco a poco, ir instalándose en las aulas de manera más generalizada e incontestable. Y esas experiencias innovadoras, acompañadas ya de algunos recursos didácticos y planes de formación, sí que se vienen apreciando desde hace algunos años. Es decir, parece que, en efecto, estamos ante el inicio de un proceso de gran cambio metodológico en lo que concierne a los números y a las operaciones.
Pues bien, los autores que suscribimos el presente trabajo, conscientes de esta necesidad de cambio metodológico, hemos dedicado en los últimos años nuestras investigaciones y nuestra práctica docente en la universidad, en la escuela, en la formación continua del profesorado en ejercicio y en la formación inicial de futuros docentes, a la búsqueda de alternativas metodológicas que encaren dicho cambio con el máximo de referencias para los profesionales que se decidan a afrontarlo, y con garantías de éxito. En esta línea, con este pequeño libro nos proponemos ofrecer un material de referencia que, a modo de guía didáctica, acompañe al profesorado en una propuesta suficientemente exhaustiva y autónoma de transformación metodológica para los primeros años de aprendizaje matemático en lo relativo a la aritmética escolar. Nuestra aportación se centra en un aprendizaje significativo del sistema de numeración decimal, con el apoyo de unos materiales didácticos manipulativos concretos de creación propia, así como en el fomento del cálculo táctico, mental o razonado y el uso de algoritmos flexibles, a fin de propiciar una concepción más cercana, integradora y funcional de las Matemáticas.
La puerta de entrada a este material didáctico la constituyen unos primeros capítulos que, a modo de breve fundamentación, pero como necesario marco teórico, nos acercan a aspectos que serán esenciales para nuestro planteamiento metodológico, como los conceptos de sentido numérico, aritmética mental, cálculo táctico y el análisis de los factores que intervienen en los procesos de enseñanza y aprendizaje de los números y de las operaciones aritméticas, con especial atención a las primeras experiencias. Esta primera parte de fundamentación finaliza con un capítulo que, centrado en el uso de materiales manipulativos en los primeros años de aprendizaje matemático, un aspecto especialmente relevante de nuestra propuesta metodológica, supone un giro de la teoría a la práctica, que se materializa en los capítulos que le siguen, con propuestas muy concretas para su implementación en el aula.
Los enfoques y planteamientos de las matemáticas escolares han ido cambiando a lo largo de la historia. Al principio, el objetivo máximo era que los estudiantes aprendieran las cuatro reglas de las operaciones básicas y las tablas de multiplicar. Gradualmente, este objetivo se fue ampliando y se empezaron a incluir otros bloques temáticos, como medida, geometría o análisis de datos, pero hoy en día la aritmética sigue teniendo un peso determinante, sobre todo en la Educación Primaria.
Creemos que el aprendizaje de la aritmética escolar es fundamental en sí mismo, pero también juega un papel importante como base de otros aprendizajes matemáticos. Para que así sea, ese aprendizaje no se puede centrar solo en experiencias de «lápiz y papel», sino que tiene que ser un aprendizaje profundo y vivenciado por parte del alumnado. Los niños y niñas tienen que «hacer matemáticas» en su proceso de aprendizaje de la aritmética.
A principios de los años noventa, McIntosh, Reys y Reys (1992) ya se cuestionan el rol de la aritmética escolar, basándose en varias cuestiones: por un lado, el poco uso que se hace en la sociedad actual de los cálculos escritos; por otro, la universalización de las calculadoras y, por último, la aceptación generalizada de que el cálculo mental y la estimación son procesos de cálculo muy potentes. Según los autores, estas cuestiones deberían hacernos reflexionar para cambiar el rol de la matemática escolar, pasando de ese entrenamiento en el cálculo escrito a un rol mucho más activo que permita poner más énfasis en la elección de estrategias de cálculo y en la reflexión sobre los procesos de elección de estas estrategias.
Desde que entró en vigor el enfoque por competencias en la enseñanza, el objetivo principal de la matemática escolar es que el alumnado sea matemáticamente competente, de modo que ahora el aprendizaje pone el acento en el uso reflexivo y coherente del conocimiento matemático en distintas situaciones de la vida cotidiana. Muy relacionado con la noción de competencia matemática aparece la de sentido matemático escolar (Lupiáñez y Rico, 2015). Este sentido matemático consta de cuatro componentes, cada una de ellas relacionada con los cuatro bloques temáticos en los que se clasifican los contenidos matemáticos: sentido numérico, sentido de la medida, sentido espacial y sentido estocástico. En este capítulo nos vamos a centrar en la primera de ellas.
La expresión sentido numérico, aunque viene usándose dentro de la literatura especializada desde hace más de sesenta años, se consolida en la actualidad junto a otras como conciencia numérica o pensamiento numérico, y se impone con fuerza en todos los estudios sobre conocimiento matemático. Ya en 1992, McIntosh, Reys y Reys afirmaban que el ciudadano de hoy en día necesita de un mayor desarrollo del sentido numérico, por las características de la sociedad en la que vivimos. De hecho, en la era tecnológica en la que nos encontramos, se puede decir que la posesión del sentido numérico es uno de los mayores atributos que distingue a la raza humana de los ordenadores.
En 1954, Tobias Dantzig empieza a perfilar ese concepto, si bien no es hasta finales de los años ochenta y principios de los noventa cuando numerosos autores empiezan a hablar de él. Un punto de inflexión importante se produce en el año 1989, cuando se celebra la conferencia Establishing Foundations for Research on Number Sense and Related Topics (Sowder y Schappelle, 1989). En ese encuentro se manifiesta una clara tendencia a considerar el sentido numérico como una forma de pensar más que como un cuerpo de conocimiento que se pueda transmitir de unos a otros. Se considera que no es suficiente diseñar una serie de actividades que permitan el desarrollo del sentido numérico, sino que se debe reconceptualizar el trabajo escolar con las habilidades aritméticas, enfatizando la existencia de muchos caminos para llegar a la respuesta correcta en las cuestiones planteadas, y tratando de desterrar la idea de un algoritmo único como forma de llegar a la solución.
A partir de ahí, podemos encontrar numerosas definiciones de distintos autores. Siguiendo a Howden (1989), el sentido numérico describe una buena intuición sobre los números y sus relaciones. Otros autores entran en más detalle, como es el caso de McIntosh, Reys y Reys (1992), que lo definen como una propensión y habilidad para utilizar los números y métodos cuantitativos como medio de comunicación, procesamiento e interpretación de la información. Es el resultado de la convicción de que los números son útiles y de que las matemáticas tienen una cierta regularidad. Estos autores establecen un marco de referencia para el sentido numérico basado en tres componentes principales:
1.Conocimiento y habilidad con los números.
2.Conocimiento y habilidad con las operaciones.
3.Aplicación de ese conocimiento y habilidad con los números y operaciones en contextos computacionales, es decir, aquellos en los que se requiere algún tipo de cálculo.
Además, establecen un listado de indicadores para cada una de esas componentes, pero destacando que el todo de lo que implica el sentido numérico es mucho más que la suma de sus partes.
El National Council of Teachers of Mathematics, en sus Estándares Curriculares y de Evaluación para la Educación Matemática (NCTM, 1989), lo define como una intuición sobre los números en todos sus posibles significados; además, identifica cinco características que denotan su posesión o desarrollo:
1.Entender correctamente el significado de los números.
2.Ser consciente de las múltiples relaciones que se dan entre los números.
3.Reconocer la magnitud relativa de los números.
4.Conocer el efecto relativo de las operaciones numéricas.
5.Disponer de puntos de referencia para las mediciones de objetos comunes y de situaciones en el entorno.
En este listado se deja ver la necesidad de avanzar hacia un consenso sobre qué es y cómo llegar a entender correctamente el significado de los números, ya que las otras cuatro características podrían ser, de hecho, indicadores de su correcto entendimiento.
En la misma línea, Sowder (1992) expone que el sentido numérico se desarrolla cuando los estudiantes comprenden el tamaño de los números; piensan sobre ellos y los representan de diferentes maneras; utilizan los números como referentes, y desarrollan percepciones acertadas sobre los efectos de las operaciones con números.
Aunque aún no hay un acuerdo general en torno al concepto y operativización del sentido numérico, muchos autores están tratando de identificar las claves para su desarrollo, establecer criterios para evaluarlo y analizar sus repercusiones en el aprendizaje. En este sentido, Resnick (1989) habla de la dificultad de definir y evaluar el sentido numérico. Además, afirma que la forma tradicional de definir los objetivos de aprendizaje y criterios de evaluación se basa en dos supuestos que son heredados de la psicología asociacionista y del conductivismo:
El supuesto de descomposición, que hace referencia a la idea de que una competencia puede ser definida completamente por un listado de elementos de conocimiento o habilidades independientes, de forma que cuando tengamos ese listado, tendremos completamente definida la competencia.
El supuesto de descontextualización, que se refiere a la idea de que una competencia existe independientemente de las representaciones que permite dicha competencia; es algo que está definido dentro de la cabeza del individuo, sin importar la situación en la que esté.
Según este autor, dentro de esta concepción del conocimiento asociacionista, la competencia está definida completamente por sus componentes, de forma que no se presta atención a los distintos caminos en los que esos componentes pueden usarse o cómo pueden unirse en determinados contextos. Por tanto, el sentido numérico no puede definirse dentro de esta concepción, ya que no es solo un listado de propiedades de los números o habilidades que puedan ejecutarse sobre ellos, sino que es un conjunto de aspectos, no predecibles en su totalidad, que uno tiende a manejar en relación con los números bajo ciertas circunstancias o contextos basándose en los conceptos y conocimientos que ya se poseen.
Ante la dificultad expresada anteriormente, Resnick se centra en los aspectos que pueden indicar la posesión de sentido numérico. Para ello proporciona una lista, no exclusiva ni definitiva, con los siguientes indicadores:
Usar hechos numéricos bien conocidos para obtener la solución en otros cálculos que no se conocen.
Pensar sobre si un resultado a un problema resulta ser razonable o no.
Usar aproximaciones numéricas, en vez de cálculos exactos cuando la situación lo requiera.
Tener conciencia del tamaño relativo de los números.
Usar las propiedades del sistema de numeración decimal para componer y descomponer números con el objetivo de simplificar los cálculos.
Demostrar la tendencia a dar sentido a las situaciones que tienen que ver con números y cantidades.
Usar distintas representaciones de los números de manera flexible e intercambiable.